康托尔集的外测度为0（康托尔集的外测度为0的探究）

康托尔集的外测度为0的探究

康托尔集的定义

康托尔集是一种无理数的集合，也称作“分形集合”。它的定义比较简单，首先选取一个非空闭区间，然后将这个区间分成三等分，去掉中间的部分，保留两侧的部分。接着针对每个剩余部分重复以上步骤，如此反复下去。最终，我们会得到一个集合，它包含了所有这样分割的部分。这个集合就是康托尔集。

康托尔集的特点

康托尔集虽然简单，但具有许多奇妙的性质。其中最为著名的就是它的维数。我们都知道，一般的几何图形都有整数维数，比如一条线段的维数是1，一个平面的维数是2。但是康托尔集的维数却是一个介于1和2之间的“分形维数”，这使得康托尔集成为了分形几何的代表。 此外，康托尔集还具有以下性质： 1. 康托尔集是一个紧集，即它是一个闭合的、有限的集合； 2. 康托尔集是完全不连续的，它的每个点都是孤立的； 3. 康托尔集是自相似的，即它的每一部分都与整个集合相似。

康托尔集的测度问题

康托尔集的外测度是指将该集合覆盖住的最小长度之和，即用线段去覆盖康托尔集需要的最短长度。 究竟康托尔集的外测度是多少呢？ 从直观上来看，康托尔集的外形非常奇怪，每个小线段的长度不断减少，这让我们想象是否存在一种方式，可以用无穷多个实数去覆盖这个集合，而最终的长度为0。 事实上，这种想法是正确的。康托尔集的外测度确实等于0。这个结论虽然有些出人意料，但它有严格的证明过程。

康托尔集外测度为零的证明

可以采用以下方法来证明康托尔集的外测度为0。 首先，我们注意到康托尔集是通过一系列分割得到的。每一次分割让集合本身缩小了三倍，因此它的长度也缩小了三倍。因此，集合的长度变化符合以下公式： $$ L_n = L_{n-1} \imes \\frac{2}{3} $$ 其中，L_n是第n次分割后得到的长度，L_{n-1}是第(n-1)次分割后的长度。　 接下来，令$\\epsilon$>0为任意一个给定的正实数。我们需要构造一组线段，使得它可以覆盖康托尔集，但覆盖这个集合所需要的长度总和不超过$\\epsilon$。 我们从康托尔集出发，将其分成三个部分。虽然每个部分的长度不等，但它们都保留了原始线段的1/3，因此中间部分的长度小于整个康托尔集的长度的1/3，上下两侧部分的长度又小于中间部分的长度的1/3，因此这三个部分的总长度都小于当前康托尔集的长度1/3。于是我们可以将中间部分抛弃，只保留上下两侧部分。 接着，我们对这两侧部分中的每一侧部分依次进行分割，得到四个部分。我们还是抛弃中间部分，只保留四个角落里的线段。注意到这四个线段在长度上又满足上述规律，即长度都小于当前康托尔集长度的1/9。 接下来，我们反复进行上述操作。将每个角落都分成三个部分，保留外侧的线段，直到达到最细的线段，然后把所有保留下来的线段放在一起即可。 这时候，所有被保留下来的线段加在一起，长度总和小于 $$ L_1 + L_2 + ... + L_n \\leq \\epsilon $$ 根据前面的公式，$L_n$的取值可以表示为$\\frac{2^n}{3^n}l_0$的形式，其中$l_0$为初始线段的长度。 因此我们通过上述方法构造出了一组线段，使得它可以覆盖康托尔集，但其长度总和小于$\\epsilon$。由于$\\epsilon$是任意给定的正实数，这也就意味着康托尔集的外测度为0。

总结

康托尔集是一个神奇的分形集合，其外测度为0的事实更是增加了它的神秘性。虽然证明过程有些抽象，但它印证了我们对康托尔集的直观印象：尽管它看上去很复杂，实际上我们可以用无穷多的实数去覆盖它，而最终的长度却是0。这也是康托尔集的奇特之处所在。