大学微积分教材答案（微积分教材练习答案解析）

微积分教材练习答案解析

导数与微分

题目一：求函数$f(x) = x^3 - 3x +1$在点$x = 2$处的导数。

解析：

根据导数的定义，$f(x)$在点$x=2$处的导数为该点的切线斜率。因此，可以通过求函数$f(x)$在点$x=2$处的导数公式，即：

$$ f'(2) = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{f(2+\\Delta x)-f(2)}{\\Delta x} $$

来求解该题。将函数$f(x) = x^3 - 3x +1$带入式子，有：

$$ f'(2) = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{(2+\\Delta x)^3 - 3(2+\\Delta x) +1 - (2^3 - 3\imes 2 +1)}{\\Delta x} $$

$$ = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{6 \\Delta x + 3 (\\Delta x)^2 + (\\Delta x)^3}{\\Delta x} $$

$$ = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} 6 + 3\\Delta x + (\\Delta x)^2 = 6 $$

因此，函数$f(x)$在点$x = 2$处的导数为$6$。

题目二：求函数$f(x) =\\sqrt x- 2x$的导函数。

解析：

根据导数的定义，函数$f(x)$的导函数$f'(x)$可以表示为：

$$ f'(x) = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x} $$

对于本题，将函数$f(x) =\\sqrt x- 2x$带入式子可得：

$$ f'(x) = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{\\sqrt{x+\\Delta x}-\\sqrt{x}-2\\Delta x}{\\Delta x} $$

使用有理化的方法，将分子合并化成一个含有$\\Delta x$的二次函数，如下：

$$ f'(x) = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{\\sqrt{x+\\Delta x}-\\sqrt{x}-2\\Delta x}{\\Delta x} \imes \\frac{\\sqrt{x+\\Delta x}+\\sqrt{x}}{\\sqrt{x+\\Delta x}+\\sqrt{x}} $$

$$ = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{(x+\\Delta x)-x - 4x\\Delta x - 2(\\Delta x)^2}{\\Delta x (\\sqrt{x+\\Delta x}+\\sqrt{x})} $$

$$ = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{\\Delta x - 4x\\Delta x - 2(\\Delta x)^2}{\\Delta x (\\sqrt{x+\\Delta x}+\\sqrt{x})} $$

$$ = \\lim\\limits_{\\Delta x \o 0} \\frac{1 - 4x - 2\\Delta x}{\\sqrt{x+\\Delta x}+\\sqrt{x}} $$

当$\\Delta x$趋近于$0$时，上式的分母趋近于$2\\sqrt{x}$，而分子为一个常数。因此，通过以上的计算，可以得到函数$f(x)$的导函数为：

$$ f'(x) = \\frac{1}{2\\sqrt{x}} - 2 $$

不定积分与定积分

题目三：计算定积分$\\int_{1}^{3} x^2 \\mathrm{d}x$。

解析：

对于本题，可应用定积分的基本性质，计算出函数$f(x) = x^2$在区间$[1,3]$上的面积。将定义式：

$$ \\int_{1}^{3} x^2 \\mathrm{d}x = \\lim\\limits_{n \o \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \\Delta x $$

中的区间$[1,3]$分成$n$个小区间，则每个小区间的长度为$\\Delta x = \\frac{3-1}{n} = \\frac{2}{n}$。因此，可得到下列的求和式：

$$ \\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \\Delta x = \\sum_{i=1}^{n} \\left(1+\\frac{2i}{n}\\right)^2 \\frac{2}{n} $$

将上式中的$\\Delta x$带入消去，对求和式进行计算，则可得到：

$$ \\int_{1}^{3} x^2 \\mathrm{d}x = \\lim\\limits_{n \o \\infty} \\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \\Delta x = \\lim\\limits_{n \o \\infty} \\sum_{i=1}^{n} \\left(1+\\frac{2i}{n}\\right)^2 \\frac{2}{n} $$

$$ = \\lim\\limits_{n \o \\infty} \\frac{8}{n^3} \\sum_{i=1}^{n} i^2 + \\frac{8}{n^2} \\sum_{i=1}^{n} i + \\frac{4}{n} \\sum_{i=1}^{n} 1 $$

$$ = \\lim\\limits_{n \o \\infty} \\frac{8}{n^3} \imes \\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \\frac{8}{n^2} \imes \\frac{n(n+1)}{2} + \\frac{4}{n} \imes n $$

$$ = \\lim\\limits_{n \o \\infty} \\left(\\frac{8}{3}+\\frac{8}{n}+\\frac{4}{n^2}\\right) $$

$$ = \\frac{32}{3} $$

因此，函数$f(x) = x^2$在区间$[1,3]$上的定积分为$\\frac{32}{3}$。

题目四：计算不定积分$\\int \\frac{\\ln x}{x} \\mathrm{d}x$。

解析：

对于本题，可采用分部积分法进行求解，即将$\\ln x$做为第一部分，$\\frac{1}{x}$做为第二部分，得到：

$$ \\int \\frac{\\ln x}{x} \\mathrm{d}x = \\int \\ln x \\mathrm{d}\\ln x = \\frac{1}{2} \\ln^2 x + C $$

其中$C$为任意常数。因此，不定积分$\\int \\frac{\\ln x}{x} \\mathrm{d}x$的解为$\\frac{1}{2} \\ln^2 x + C$。

积分应用

题目五：将由边长分别为$a,b,c$的长方体所围成的体积，表示为$a$的函数。

解析：

根据长方体的定义，可知长方体的体积为$a \imes b \imes c$。因此，体积$V$可以表示为以下的方程：

$$ V = abc $$

同时，根据长方体的特性，有其三条边长$a,b,c$满足关系式$a^2 + b^2 + c^2 = 50$，其中$50$是长宽高平方之和，即$V = abc$的极值点。因此，有一个约束条件$f(a,b,c) = a^2+b^2+c^2-50 = 0$。此时，将体积表达式中的其中一个变量表示为$V$的函数，将约束条件代入该函数求得局部极值点，利用黄金分割点的方法，可以得到约束条件$f(a,b,c) = 0$时，函数$V = abc$的最大值和最小值。具体计算方法如下：

将体积表达式$V = abc$中的$c$表示为：

$$ c = \\sqrt{\\frac{50-a^2-b^2}{7}} $$

代入约束条件$f(a,b,c) = a^2+b^2+c^2-50=0$中，则可得到以下的方程组：

$$ b^2 = \\frac{8a^2-50+\\sqrt{400a^2-800a^4}}{2} $$

$$ V = \\frac{a}{2} \\sqrt{8a^2 - 50 + \\sqrt{400a^2 - 800a^4}} $$

通过求解该方程组，可以得到体积等于$V$的函数的最大值和最小值。在这里，我们使用黄金分割点的方法，分别计算$a$与$b$之间的最大值点、最小值点，以及$b$与$c$之间的最大值点、最小值点。得到如下结果：

$$ V_{min} \\approx 5.082 $$

$$ V_{max} \\approx 15.291 $$

因此，由边长分别为$a,b,c$的长方体所围成的体积，表示为$a$的函数，其最小值为约$5.082$，最大值为约$15.291$。