众享教育八年级上册数学答案人教版（众享教育八年级上册数学答案人教版- 解答精选）

众享教育八年级上册数学答案人教版- 解答精选

一、整数运算

1. 解：

（1）由于 $a,\\;b$ 都是正整数，所以 $a + b \\geq 2$，当 $a + b = 2$ 时，$ab$ 取得最小值为 $0$。当 $a + b > 2$ 时，$ab$ 取得最小值为 $(\\dfrac{a+b}{2})^2$。 答案：$\\begin{cases}0, &a+b =2\\\\(\\dfrac{a+b}{2})^2, &a+b >2\\end{cases}$。

2. 解：

最大公约数 $d = (a,b,c)$。由 $ad,bd,cd$ 皆为完全平方数，设 $k,l,m$ 为自然数，使得 $ad = k^2,\\;bd = l^2,\\;cd = m^2$。解得 $abc = (kld)^2$，得证。

二、比例与数值运算

1. 解：

设以 $\\dfrac{1}{x}$ 的速度向外扩张，那么第 $n$ 秒时，棕色正方形的边长为 $1+4(n-1)\\dfrac{1}{x}$，蓝色正方形的边长为 $1+2(n-1)\\dfrac{1}{2x}$，接下来解方程：

当棕色正方形的边长为蓝色正方形的两倍时，有：$1+4(n-1)\\dfrac{1}{x}= 2\\left(1+2(n-1)\\dfrac{1}{2x}\\right)$。

整理得：$\\dfrac{1}{x} = \\dfrac{2}{3(n-1)}$。因此，当较大正方形的边长是较小正方形的两倍时，此时用了 $\\dfrac{2}{3}$ 秒。答案：$\\dfrac{2}{3}$ 秒。

2. 解：

设 $\\angle AED = 2x$，则 $\\angle EFC = \\angle CDE = x$。设 $\\angle CFB = y$，则 $\\angle ABC = \\angle BCA = 60^{\\circ} - y$，$\\angle ABD = 30^{\\circ} + y$，$\\angle AFC = 120^{\\circ} -2x -y$，$\\angle AFB = 2x+y$。

根据正弦定理得：$\\dfrac{FB}{sin \\angle ADB} = \\dfrac{AB}{sin \\angle AFB}$，即 $\\dfrac{FB}{sin (30^{\\circ} + y)} = \\dfrac{AB}{sin (2x+y)}$，化简得：

$$\\dfrac{FB}{AB} = \\dfrac{sin (2x+y)}{sin (30^{\\circ} + y)}$$

又因为 $\\angle CFB = y$，$\\angle CFE = \\angle AFE = 90^{\\circ}$，所以 $\\dfrac{CF}{EF} = cot y$，$\\dfrac{AF}{EF} = tan (2x+y)$，$\\dfrac{CE}{EF} = tan x$。因此， 

$$\\dfrac{FB}{AB} = \\dfrac{CF}{CE} \\cdot \\dfrac{AF}{AB} =\\dfrac{cot y \\cdot tan (2x+y)}{tan x}$$

同样地，由正弦定理得：

$$\\dfrac{FE}{sin \\angle AFE} = \\dfrac{AE}{sin \\angle AEF}$$

即 $\\dfrac{FE}{cos(2x+y)} = \\dfrac{AE}{cos x}$，化简得：

$$\\dfrac{FE}{AE} = \\dfrac{cos(2x+y)}{cos x}$$

代入上式可得：

$$\\dfrac{cot y \\cdot tan (2x+y)}{tan x} = \\dfrac{cos(2x+y)}{cos x}$$

整理得：$cot y \\cdot tan (2x+y) = \\dfrac{sin 2x}{sin x}$。由此可得 $cot y =\\dfrac{sin 2x}{sin y}$，解得 $y = 2x = 20^{\\circ}$，所以 $\\angle AEF = 70^{\\circ}$。答案：$70^{\\circ}$。

三、平面图形的认识

1. 解：

如图所示，$AD=\\sqrt{2}a$，$FC=FD=\\dfrac{a}{2}$，$\\angle FDC = 45^{\\circ}$，$\\angle EAB = \\angle AEB = 45^{\\circ}$，因此 $EC = \\dfrac{a}{2}$，$EA = GB = FC = FD = \\dfrac{a}{2}$。

连接 $AD$ 与 $GE$，则 $\riangle AED$ 为等腰直角三角形，所以 $GE = \\dfrac{a}{2\\sqrt{2}}$。

因为 $\\angle BGF = 180^{\\circ} - \\angle AEB = 135^{\\circ}$，所以 $\\angle BGF = \\angle FDC$，推出 $\riangle GFB \\cong \riangle DFC$，从而 $GF=DC=\\dfrac{a}{2}$。

因为 $\\angle GED = 90^{\\circ}$，所以 $GD = \\sqrt{GE^2 + FE^2} = \\sqrt{\\left(\\dfrac{a}{2\\sqrt{2}}\\right)^2 + \\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^2} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{4}$。

因此，四边形 $ABCD$ 的面积为 $S = 2S_{\riangle EFD} + 2S_{\riangle GFB} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{8}a^2$。

2. 解：

如图所示，$\an \\angle G'JK = \\dfrac{GH}{KC} = \\dfrac{3}{5}$，则 $\\angle G'JK = arctan \\dfrac{3}{5}$。同理可得 $\\angle H'JK = arctan \\dfrac{4}{5}$，$\\angle G'JJ' = arctan \\dfrac{3}{4}$，$\\angle H'JJ' = arctan \\dfrac{4}{3}$。

设 $G'J = x$，则 $H'J = x + 20$，$EE' = GJ =x \\cdot tan arctan \\dfrac{3}{4} + H'J \\cdot tan arctan \\dfrac{4}{3}$。化简得：

$$x\\cdot \\dfrac{3}{4} + (x+20)\\cdot \\dfrac{4}{3} = x+80$$

解得 $x = 72$，$\\dfrac{G'H'}{J'J} = \\dfrac{G'J + H'J}{2 \\cdot JJ'} = \\dfrac{182}{143}$。答案：$\\dfrac{182}{143}$。