分层样本方差公式的推导（分层样本方差的推导）
分层样本方差的推导
1. 引言
在统计学中，我们经常需要对一个总体进行估计。然而，由于总体太大，难以全部取到样本进行研究，因此我们需要采用抽样技术，从总体中抽取样本进行研究。
在使用抽样技术时，有时我们需要对总体进行分层，即将总体分成若干个层，每个层内的个体有着相同的特征，例如年龄、性别等。然后，从每个层中分别进行随机抽样得到样本，并根据样本对总体进行估计。这种方法就是分层抽样。
分层抽样在实际应用中广泛使用。为了对总体进行更准确的估计，我们需要对分层抽样中重要的概念——分层样本方差进行推导和研究。
2. 分层样本方差的定义
分层样本方差用于衡量分层抽样中样本估计值的抽样方差大小。在分层抽样中，总体被分为K个层，第k层的总量为$N_k$。我们从第k层中抽取$n_k$个个体组成一个样本，其中$n_k<=N_k$。
我们可以通过分层估计器对总体进行估计，分层估计器的公式为：
其中，$\\bar{y}_{k}$为第k层的样本均值。$\\hat{\heta_{h}}$为分层估计量。
为了衡量分层估计量的方差大小，我们需要引入分层样本方差的概念。分层样本方差的定义如下：
其中，$S_{k}^{2}$为第k层的样本方差，$V(\\hat{\heta_{h}})$为分层估计量的方差。
3. 推导
我们可以通过推导分层估计量的方差，得到分层样本方差的公式。推导如下：
3.1 推导分层估计量的方差
根据方差公式，可以将分层估计器的方差表示为：
其中，$V(\\bar{y}_{k})$为第k层样本均值的方差，$Cov(\\bar{y}_{i},\\bar{y}_{j})$为第i层和第j层样本均值的协方差。
下面我们分别进行推导。
3.2 推导$V(\\bar{y}_{k})$
设第k层样本的均值为$\\bar{y}_{k}$，样本的方差为$S_{k}^{2}$。则有：
3.3 推导$Cov(\\bar{y}_{i},\\bar{y}_{j})$
设第i层样本的均值为$\\bar{y}_{i}$，样本的方差为$S_{i}^{2}$。第j层样本的均值为$\\bar{y}_{j}$，样本的方差为$S_{j}^{2}$。两个层中个体的相关系数为$\\rho$。则有：
3.4 将3.2和3.3的公式带入到3.1中，得到分层估计量的方差公式
将3.2和3.3的公式带入到3.1中，可得分层估计量的方差公式为：
4. 结论
通过以上推导，我们得到了分层样本方差的公式。在实际应用中，我们需要对分层样本方差进行研究，以便得到更准确的分层估计量。
参考文献
[1] 科学计算软件. 统计学基础[M]. 清华大学出版社, 2004.
[2] Hedayat A S, Sinha B K. Design and inference in finite population sampling[M]. Wiley, 1988.
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