radon-nikodym定理的特例（Radon-Nikodym定理的特例）
Radon-Nikodym定理的特例
什么是Radon-Nikodym定理
R adon-Nikodym定理是测度论的基本定理之一，它描述了一个测度在另一个测度下的绝对连续性。假设我们有两个测度 $\\mu$ 和 $\ u$ ，其中 $\\mu$ 是 $\\sigma$ 有限的测度。如果 $\ u$ 在 $\\mu$ 下绝对连续，则存在一个可积函数 $f$ ，满足：
$ \ u(E) = \\int_E f d\\mu $
这里 $E$ 是任意可测集合，$f$ 是 $\\mu$ 几乎处处存在的可积函数。函数 $f$ 一般称为 Radon-Nikodym 导数，用 $f = \\dfrac{d\
u}{d\\mu}$ 表示。
下面我们讨论一个 Radon-Nikodym 定理的特例。
特例：Lebesgue积分上的特例
假设我们在 $\\mathbb{R}^n$ 上，设 $f$ 是一个可积函数，则如果对于任意 $0 < \\epsilon < 1$ ，有
$ \\int_{\\mathbb{R}^n} |f(x)|^{1+\\epsilon} dx < +\\infty $
$f$ 在 $\\mathbb{R}^n$ 上是有界函数，则 $f$ 可以写成 $f(x) = g(x)e^{i\heta(x)}$，其中 $g(x)$ 是一个非负可积函数，$\heta(x)$ 是一个实值函数。我们记
$ \ u(E) = \\int_E g(x) dx $
对于任意测度可测的集合 $E$，则 $\ u$ 是 $\\sigma$ 有限测度。在这个前提下，我们有特殊形式的 Radon-Nikodym 定理：
$ \\int_E f(x) dx = \\int_E g(x)e^{i\heta(x)} dx = \\int_E \\dfrac{g(x)}{g(x)} f(x)dx = \\int_E \\dfrac{|f(x)|}{g(x)} e^{i\heta(x)}g(x) dx = \\int_E \\dfrac{|f(x)|}{g(x)} d\ u $
我们令 $f_1(x) = \\dfrac{|f(x)|}{g(x)}$ ，则 $f_1(x)$ 是一个可积函数，所以存在上面的 Radon-Nikodym 导数：
$ \\dfrac{d\\mu}{d\ u}(x) = \\dfrac{g(x)}{|f(x)|} = \\dfrac{1}{f_1(x)} $
由于 $\\mu$ 是 Lebesgue 测度，我们有
$ \\mu(E) = \\int_E dx $
当 $E$ 是 $\\mu$ 可测时，我们有：
$ \\mu(E) = \\int_E \\dfrac{1}{f_1(x)} d\ u $
最终，我们可以得到：
$ \\int_E f(x)dx = \\int_E \\dfrac{f(x)}{f_1(x)} d\ u $
特例的应用
特例的应用很广泛，比如在概率论和统计学中，很多随机变量都可以写成 $f(x) = g(x)e^{i\heta(x)}$ 的形式，这时可以运用 Radon-Nikodym 定理的特例来证明一些定理。例如存在有限的更高阶矩的随机变量对应着 $f$ 在 $L^{p}$ 空间中的一部分。另外还有实分析中的定理，如 Fatou's Theorem 和 Lebesgue 描述定理等等，也可以运用 Radon-Nikodym 定理的特例来证明。
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